Categorie archief: Natuurkunde

Modelleren in het natuurkunde-examen

Afgelopen vrijdag maakten de 6 VWOers het eindexamen Natuurkunde. Zoals de laatste jaren gebruikelijk is zat er een vraag in over modelleren. De kandidaten moesten een model maken van een lift die met behulp van een motor omhoogklimt langs een kabel die gespannen is tussen het aardoppervlak en een satelliet. Na twee inleidende vragen over die satelliet en de kabel werden de leerlingen geconfronteerd met dit model (Bron: examenblad.nl, het volledige examen is hier te downloaden):

Screenshot 2016-05-20 21.34.48

Een diagram met veel pijlen waarvan  ik zelf ook moeite heb om te snappen wat er staat. Als tekst wordt het model zo weergegeven:

Screenshot 2016-05-20 21.36.43

Als je goed oplet zie je dat deze regels ook in de grafische vorm worden weergegeven. Leerlingen moeten over dit model vragen beantwoorden, maar voordat ik die bespreek eerst een korte uitleg over dit model, regel voor regel.

Het draait allemaal rond de variabele x, de hoogte van de lift rond het aardoppervlak. Tenminste, dat nemen we aan uit de context, want de namen van de variabelen (rx, Ma, x, etc. worden niet verklaard). Aan het begin van een stap in het model bevindt de lift zich op een hoogte x. Dan gaan we regel voor regel kijken wat er wordt berekend:

1.     rx = Ra + x De afstand van de lift tot het middelpunt der aarde wordt berekend door de straal van de aardbol bij x op te tellen
2.     mtot = m_lift+m_brandstof  De massa van lift en brandstof wordt opgeteld tot een totale massa
3.     Fg = G * Ma * mtot/rx^2 Gebruikmakend van de zwaartekrachtwet van newton wordt de zwaartekracht op de lift uitgerekend
4.     Fmpz = mtot * 4π^2*rx/(24*3600)^2 Omdat de aarde draait moet op de lift een middelpuntzoekende kracht worden uitgeoefend. Die is gelijk aan mω2r, waarbij ω de hoeksnelheid is. Die reken je uit door 2π te delen door de omlooptijd, in dit geval het aantal seconden in een dag. De formule klopt niet helemaal, in plaats van 24*3600 seconden in een dag moet eigenlijk uitgegaan worden van een siderische dag: iets meer dan 86164 seconden.
5.     Fmotor = Fg – Fmpz De motor levert een kracht naar boven die precies gelijk is aan de netto kracht op de lift – zwaartekracht min de middelpuntzoekende kracht – op die manier gaat hij met een constante snelheid omhoog, dat staat ook in de opgave.
6.     dx = v * dt7.     x = x + dx Dit zijn regels om het model te laten “lopen”, de verplaatsing binnen een tijdstap wordt uitgerekend en die wordt bij de plaats opgeteld.
8.     dW = Fmotor * dx De arbeid die de motor verricht is gelijk aan de kracht keer de verplaatsing
9.     dm_brandstof = … Het verbruik van de brandstof wordt gevraagd.
10.  m_brandstof = m_brandstof – dm_brandstof De verbruikte brandstof wordt van het totaal afgetrokken
11.  als x>4.0E7 dan stop eindals Als de lift op de gewenste hoogte is aangekomen, dan stopt het model
12.  t = t+dt De tijd wordt opgehoogd met een tijdstap.

En dan nu de vragen over dit model. De eerste vraag is te omschrijven wat in regel 8 wordt berekend. Het antwoord staat hierboven al. Het is het herkennen van de definitie van arbeid in de modelregel. Daarbij word je geholpen door het feit dat W (Work) normaalgesproken wordt gebruikt als symbool van arbeid.

De volgende vraag is regel 9 aan te vullen. Dit is typisch een trucjesvraag. dW wordt nog nergens aan de rechterkant van een =-teken gebruikt. Hetzelfde geldt voor verbrandingswarmte, dus die zal er ook wel in moeten. De eenheid van verbrandingswarmte is Joule/kg, de massa aan de linkerkant gaat in kg, dW gaat in Joule dus: dm_brandstof = dW/verbrandingswarmte. Waaraan voorbij wordt gegaan is dat er een rare aanname in de formule zit, namelijk dat alle energie die bij de verbranding vrij komt, wordt omgezet in arbeid om de lift omhoog te krijgen. Een rendement dat nooit kan. De formule zou dus eigenlijk moeten zijn: dm_brandstof = dW/(verbrandingswarmte*rendement). Maar rendement is geen variabele. De derde vraag is hoe je kunt zien dat v constant is is een inkoppertje: er is geen modelregel die begint met v = …. Dus v kan niet veranderen.

In de vraag die hierop volgt moeten leerlingen beredeneren dat je met minder brandstof ook boven kan komen, omdat je dan ook minder brandstof op hoeft te tillen. Een vraag waar je modelregels bij moet noemen, maar die ook op basis van eenvoudige principes los van het model is te beantwoorden.

Ik ben een groot voorstander van modelleren in het onderwijs, maar ik ben niet blij met deze opgave. Ten eerste gaat deze opgave alleen over de technische kant van het modelleren: een regeltje aanvullen, inzien dat een variabele niet verandert als er geen regel voor is, etc. Inzicht in waarom modellen eigenlijk worden gebruikt en wat ze betekenen wordt niet getoetst. Ook is er geen aandacht voor de aannames over het model, zoals het 100% rendement en de aanname dat de snelheid constant moet zijn. Vragen over wat er voor nodig zou zijn om dat te realiseren, waarom je in het model de relatie tussen kracht, versnelling en snelheid mag negeren, wat de stijgende lift met de kabel doet, etc worden niet gesteld. Binnen de context van zo’n examen is dat ook onmogelijk, maar de vraag is of je dat ook moet willen.

Naast dit alles vind ik de gekozen modelleertaal niet fijn. De grafische representatie is al snel onoverzichtelijk en de modelregels zijn in een quasi-programmeertaal geschreven. Raar vind ik dat getallen in de grafische representatie anders worden geschreven dan in de tekst (4,0.107 grafisch vs. 4,0E7 in de tekst). En als een super- en subscript mogelijk is waarom schrijf je dan niet Fmotor in plaats van Fmotor. En in de tekst duikt opeens een π op, wat betekent dat het ook weer geen echte programmeertaal is, die dit soort symbolen niet kent. Bovendien staat er 4π en niet 4 * π wat een programmeertaal zou eisen. Ik geef toe dat dat een beetje een zeurpunt is – ik verwacht niet dat leerlingen hier de mist op ingaan – maar als je modellen in een programmeertaal wil geven doe het dan goed.

Het resultaat is een vraag waarin leerlingen wordt gevraagd wat trucjes toe te passen op een wat slordig geformuleerd model in plaats van echt na te denken over wat modelleren is. Mijn voorstel zou zijn om modelleren in een praktische opdracht te verwerken, waarin leerlingen echt modellen zelf moeten bouwen, in een taal naar hun keuze. Modelleren is als vaardigheid te waardevol om op deze manier te toetsen.

Schaatser versus streep

Voor wie regelmatig schaatsen kijkt, zoals ik, is het al bijna een vertrouwd verschijnsel, de streep die de tijd van de tot dan toe snelste rijder aangeeft. Als je voor die streep finisht sta je bovenaan in het klassement. Wat echter opvalt is dat veel schaatsers die streep pas op het laatst lijken in te halen, terwijl ze bij het uitkomen van de bocht nog een forse achterstand hebben. Frank Snoeks, de commentator, viel het ook op, en vond dat de streep tamelijk willekeurig werd gehanteerd. Hij riep onder andere uit: „Weer die streep, je denkt daar komt hij nooit voorbij! Die streep, daar deugt niks van!” Je kunt zowel de streep als zijn commentaar in de volgende video zien en horen (overgenomen van de NOS-site).

Dat er niets van klopt is niet waar, maar het model waarmee de plek van de streep berekend wordt is inderdaad niet gelukkig gekozen. Zo te zien wordt de streep berekend op basis van een constante snelheid van de schaatser, terwijl in het echt de schaatser op een snelheid van nul begint en op gang moet komen. De streep gaat in het begin dus te snel ten opzichte van de schaatser en aan het eind te langzaam.

Ik heb dat eens uitgerekend voor een rit van 500 meter: hoe verloopt de rit voor de streep en voor een schaatser die allebei op 35 seconden uitkomen? Ik ging er daarbij van uit dat de schaatser opent (d.w.z. de eerste 100 meter aflegt) in 9.6 seconde. Ik heb aangenomen dat de schaatser zo snel mogelijk versnelt naar de gemiddelde snelheid van de volle ronde. Ook niet helemaal correct waarschijnlijk maar een betere benadering dan een constante snelheid. In dit geval bereikt de schaatser na 51 meter, in 6.5 seconde zijn kruissnelheid. Op dat moment heeft hij een achterstand van 42 meter op de virtuele streep. Die loopt hij in de rest van de rit in. Bij het uitkomen van de tweede bocht (op ongeveer 400 m) heeft hij daarbij nog altijd een achterstand van zo’n negen meter op de streep. Toch komen streep en schaatser na 35 seconden precies gelijk op de finish aan. In onderstaande grafiekjes is het verloop van de race tussen schaatser en streep geschetst.

De ontwikkeling van de snelheid van de streep en van de schaatser
De ontwikkeling van de snelheid (in m/s) van de streep en van de schaatser
Het verloop van de wedstrijd tussen de schaatser en zijn 'eigen' streep
Het verloop van de wedstrijd tussen de schaatser en zijn ‘eigen’ streep
De achterstand van een schaatser op de streep die tegelijk met hem finist
De achterstand van een schaatser op de streep die tegelijk met hem finist

Je hebt dus eigenlijk niet veel aan die streep. Het kan echter vrij gemakkelijk beter. Als de regie de positie van de streep niet baseert op de eindtijd van de schaatser wiens tijd wordt weergegeven, maar op zijn rondetijd wordt hij veel nauwkeuriger. De kijker kan dan een realistischer wedstrijd zien tussen de schaatser en zijn tegenstander in een eerdere rit.

Update: Bij het kijken naar de Olympische spelen valt me op dat de positie van de streep nu wel goed overeenstemt met die van de rijder die die tijd gereden heeft. Het lijkt erop dat hij nu gebaseerd is op daadwerkelijke metingen van die rijder of berekend op basis van de volle-rondetijd.

 

 

Quantumtheorie getest

Quantummechanica wordt vaak gezien als een beetje raadselachtig. Toen in de eerste decennia van de twintigste eeuw de nieuwe natuurkunde werd ontwikkeld werd duidelijk dat de wereld van de allerkleinste deeltjes er totaal anders uitziet als de werkelijkheid die we direct waarnemen. Materie blijkt zich soms als een golf en soms als een deeltje te gedragen, en kan zich zelfs in meerdere toestanden tegelijk bevinden, waardoor we nog steeds niet weten of de kat van Schrödinger nu wel of niet leeft.

Dit alles komt door een belangrijk principe in de quantummechanica. Sommige grootheden, zoals plaats en snelheid van een deeltje kun je niet tegelijkertijd meten. Als je de snelheid van een deeltje meet weet je de plaats niet en andersom. Dit is het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. In de berekeningen voor plaats en snelheid zit altijd een minimale onzekerheid. Een quantummechanische toestand voorspelt daarom alleen de kans op een bepaalde uitkomst van een experiment. En door te meten verander je ook de toestand: een meting van plaats levert een toestand op met een zekere plaats en een onzekere snelheid en omgekeerd.

Einstein vond dit maar niets. Hij vond dat een theorie die niet alles kon voorspellen niet af is. In een jarenlange discussie met Niels Bohr probeerde hij de natuurkundige gemeenschap daarvan te overtuigen. In 1935 kwam hij, samen met twee anderen, tot een ultiem argument. Stel, je hebt een atoom, dat in twee delen uit elkaar valt, en die twee delen bewegen van elkaar weg. Dan kan ik uit een meting van het ene deeltje de eigenschappen van het andere berekenen. Dus, als ik van deeltje A de plaats meet weet ik de plaats plaats van deeltje B. En voor de snelheid is dat ook zo. Maar, als deeltje B inmiddels ver weg is, kan deeltje B niet weten wat ik meet, en moeten plaats en snelheid al bekend zijn. Anders zou deeltje B op het moment dat ik deeltje A meet moeten weten wat er gemeten wordt. Er zou dus een signaal met oneindige snelheid van A naar B moeten gaan, en dat kan niet volgens Einsteins relativiteitstheorie.

Bohr liet zien dat dit geen probleem hoeft te zijn met de theorie. De quantumtheorie geeft een bovengrens aan wat we kunnen weten, en in de redenering van Einstein hoeft er toch geen informatie te worden verzonden om de metingen toch kloppend te krijgen.

De discussie werd in de jaren 60 nieuw leven ingeblazen door John Bell. Hij was het met Einstein eens beide deeltjes alle eigenschappen moesten dragen, dus meer informatie bevatten dan de quantumtheorie toestaat. Hij richtte zich op een eigenschap van deeltjes die aangeeft hoe snel ze om hun as tollen, en in welke richting: de spin. Quantummechanisch geldt voor de spin in twee verschillende richtingen hetzelfde als voor plaats en snelheid: je kunt ze niet tegelijkertijd meten. Als je de spin in de verticale richting meet, blijf je in het ongewisse over de spin in de horizontale richting en andersom.

Bell bedacht een experiment waarbij een deeltje zonder spin uiteenvalt in twee deeltjes elk met spin. De totale spin van beide deeltjes moet dan wel nul zijn. Als je van beide deeltjes de spin meet in dezelfde richting, vind je bij elke positieve spin bij deeltje A een negatieve spin voor deeltje B. De correlatie, een maat voor de samenhang tussen de twee metingen, tussen beide spins is dan -1. Maar als je van deeltje A in de verticale richting meet, en bij B in de horizontale richting vind je een correlatie van nul, de metingen hangen totaal niet samen. De meting aan de ene kant zegt niets over wat je aan de andere kant vindt. Zowel de quantummechanica als de klassieke natuurkunde voorspellen dat en op die manier kun je dus niet bepalen welke theorie klopt. Bell kwam op het idee om ook te kijken naar situaties waarin de spin niet in dezelfde richting of loodrecht op elkaar wordt gemeten, maar bijvoorbeeld onder een hoek van 60 graden. Hij vond dat dan de quantummechanica en klassieke theorie dan wel verschillende uitkomsten geven. In een klassieke theorie splitst het deeltje en ligt de spin van beide brokstukken vast. In de quantumtheorie splitst het deeltje en ligt er nog niets vast over de spin van beide deeltjes. Pas op het moment van meten aan deeltje A verandert de quantumtoestand van beide deeltjes in een toestand waarin deeltje A een positieve of negatieve spin in de gemeten richting heeft. Als dan deeltje B wordt gemeten hangt de uitkomst mede af van die op deeltje A. Daardoor is de correlatie tussen de uitkomsten van de metingen volgens de quantummechanica sterker dan volgens de klassieke mechanica. In de simulatie hieronder kun je dit uitproberen.

Boven zie je een simulatie van het spin-experiment volgens de quantumtheorie, daaronder hetzelfde experiment berekend volgens een klassieke theorie. Je kunt de hoeken waaronder de spin wordt gemeten aanpassen voor beide deeltjes, A en B. Je kunt met Run 1 deeltje laten splitsen. Je ziet dan aan beide kanten een detector opflitsen en het deeltje registreren. Als de detectoren onder dezelfde hoek meten zie je dat steeds tegengestelde detectors opflitsen. Als ze een hoek maken van 90 graden is er geen verband tussen de flitsen links en rechts.

Met “Run 1000” kun je duizend experimenten achter elkaar doen. Je kunt aflezen wat de correlatie tussen de metingen aan deeltje A en B is. Hoe dichter bij 1 of -1 hoe sterker de correlatie. Bij nul is er geen verband. Probeer eens een verschil tussen a en b van 60. Je ziet dat de quantumtheoretische en de klassieke correlaties verschillen. De stelling die Bell bewees is dat er geen klassieke theorie mogelijk is die voor alle combinaties van a en b dezelfde voorspellingen als de quantumtheorie kan geven.

Welke instelling je ook maakt voor beide deeltjes is de kans op een meting van + of – 50%.  Voor een waarnemer die maar 1 van de deeltjes ziet is er niets bijzonders aan de hand, pas met de kennis over het andere deeltje valt de correlatie op. Dat betekent dat, hoewel er een correlatie is, er geen informatie tussen de deeltjes wordt uitgewisseld. Op die manier blijven we nog net binnen de regels van de relativiteitstheorie.

In het begin van de jaren 1980 voerde Alain Aspect een reeks experimenten uit met fotonen in een opstelling zoals hierboven getoond. Die experimenten toonden overtuigend aan dat de quantummechanische voorspellingen kloppen.

Negatieve temperatuur

Onderzoekers hebben een systeem in een toestand gebracht met een temperatuur lager dan 0 Kelvin, dus lager dan het absolute nulpunt. Een absoluut nulpunt dat kennelijk niet absoluut is. In eerste instantie denk je dan meteen aan neutrino’s die eerst wel en later toch niet sneller dan licht gingen. Op school leer je dat bij het absolute nulpunt “alle moleculen stilstaan”. Negatieve temperatuur zou dus betekenen dat ze stiller staan dan stil. En dat slaat natuurlijk nergens op.

Toch is dit geen fout, negatieve temperaturen zijn mogelijk. Om dat te begrijpen moet je wel iets meer weten wat temperatuur eigenlijk is. Een ander begrip dat een rol speelt is entropie, een begrip dat iets zegt over de mate van wanorde in een systeem.

Traditioneel is temperatuur een maat voor de kinetische energie van de deeltjes van een systeem. Hoe meer energie de deeltjes (gemiddeld) hebben, dat wil zeggen hoe sneller ze bewegen,  hoe hoger de temperatuur.

Als je weet wat de totale energie van een systeem is weet je nog niet precies wat de energie van ieder deeltje is. Bij eenzelfde energie en temperatuur kun je je voorstellen dat een deel van de gasdeeltjes langzaam beweegt, en een ander deel snel, of dat alle deeltjes allemaal ongeveer even snel gaan. Zolang de gemiddelde energie per deeltje hetzelfde is, zijn die twee mogelijkheden gelijkwaardig en kunnen we ze niet onderscheiden.

De entropie van een systeem is een maat voor het aantal manieren waarop een systeem met een bepaalde energie zou kunnen bestaan. Kan dat maar op één manier, dan is de entropie gelijk aan nul. Kan dat op veel manieren dan is de entropie groter. Het lijkt een beetje op dobbelstenen: Je kunt maar op één manier 2 gooien met twee dobbelstenen en op zes manieren 7. De entropie van 7 is in dit geval dus groter.

Entropie is een belangrijk begrip in de natuurkunde. Een natuurkundige hoofdwet zegt dat de entropie van het universum altijd moet toenemen.

Energie, temperatuur en entropie hangen samen. Bij een hele lage temperatuur moet de energie van alle deeltjes wel heel laag zijn en zijn er weinig mogelijkheden waarop het systeem met die energie kan bestaan. Hoe hoger de energie, hoe meer mogelijkheden er komen. Als je energie toevoert aan een systeem neemt de entropie in de regel dus toe. Het blijkt dat die toename afhangt van de temperatuur. In formule, met S de entropie en Q de energie.

ΔQ = TΔS

De Griekse letter Δ staat hier voor de verandering. ΔQ is dus de verandering in de energie van het systeem. T bepaalt het verband tussen de toename in entropie wanneer je energie toevoert aan een systeem. En als T groter is dan 0 neemt de entropie dus toe met de temperatuur. Natuurkundigen nemen de T in deze formule als de definitie van temperatuur.

Denk nu weer eens aan die dobbelstenen. Stel dat het gegooide aantal ogen de energie is van het systeem. Bij een energie van twee is er een lage entropie (zelfs 0). Als je meer ogen gooit neemt de entropie toe, tot 7 ogen. Daarna neemt het aantal mogelijkheden waarop je het totaal aantal ogen kunt maken weer af, tot de entropie bij 12 weer gelijk is aan nul. Als je meer dobbelstenen gebruikt gebeurt er steeds iets soortgelijks. Eerst neemt het aantal mogelijkheden om een bepaald aantal ogen te maken toe, tot een maximum waarna het weer afneemt.

Nu hebben de onderzoekers van de Ludwig-Maximilians-Universität een systeem gemaakt dat hier op lijkt. In een vaste stof zijn kaliumatomen in een conditie gebracht waarin ze een eindig aantal energietoestanden hebben. De totale energie van het systeem is gelijk aan de som van de energieën van de aparte deeltjes. En de entropie neemt eerst toe met de energie, en daarna weer af, net als bij de dobbelstenen.

Hoe zit het dan met de temperatuur? Daarvoor kijken we naar de formule. Als bij lage energie een beetje energie (ΔQ) wordt toegevoerd (van 2 naar 3 ogen) neemt de entropie (ΔS) toe. Dus T is dan groter dan nul. Maar bij hoge energie (van 9 naar 10 ogen) levert een kleine toename van de energie juist een afname van de entropie op! Dat betekent dat de temperatuur negatief moet zijn!

Vreemd is het wel. Negatieve temperatuur is dus niet een toestand met negatieve energie. Het is juist een toestand met relatief veel energie: dus eigenlijk warmer dan de toestanden met positieve temperatuur. Dat verklaart ook wat in het stuk staat dat deeltjes die door een negatief temperatuursysteem bewegen kunnen worden versneld: er zijn immers veel deeltjes die wat energie kunnen afgeven aan een passerend deeltje. De entropie van het systeem wordt dan groter, keurig volgens de natuurwetten.

Het experiment is ontworpen naar een idee van de Twentse onderzoeker Allard Mosk, zijn idee en het prachtige experimentele werk van de Duitse onderzoekers laten zien hoe mooi en ook vreemd de natuur zich in extreme gevallen kan gedragen.