Categorie archief: Alledaagse modellen

Schaatser versus streep

Voor wie regelmatig schaatsen kijkt, zoals ik, is het al bijna een vertrouwd verschijnsel, de streep die de tijd van de tot dan toe snelste rijder aangeeft. Als je voor die streep finisht sta je bovenaan in het klassement. Wat echter opvalt is dat veel schaatsers die streep pas op het laatst lijken in te halen, terwijl ze bij het uitkomen van de bocht nog een forse achterstand hebben. Frank Snoeks, de commentator, viel het ook op, en vond dat de streep tamelijk willekeurig werd gehanteerd. Hij riep onder andere uit: „Weer die streep, je denkt daar komt hij nooit voorbij! Die streep, daar deugt niks van!” Je kunt zowel de streep als zijn commentaar in de volgende video zien en horen (overgenomen van de NOS-site).

Dat er niets van klopt is niet waar, maar het model waarmee de plek van de streep berekend wordt is inderdaad niet gelukkig gekozen. Zo te zien wordt de streep berekend op basis van een constante snelheid van de schaatser, terwijl in het echt de schaatser op een snelheid van nul begint en op gang moet komen. De streep gaat in het begin dus te snel ten opzichte van de schaatser en aan het eind te langzaam.

Ik heb dat eens uitgerekend voor een rit van 500 meter: hoe verloopt de rit voor de streep en voor een schaatser die allebei op 35 seconden uitkomen? Ik ging er daarbij van uit dat de schaatser opent (d.w.z. de eerste 100 meter aflegt) in 9.6 seconde. Ik heb aangenomen dat de schaatser zo snel mogelijk versnelt naar de gemiddelde snelheid van de volle ronde. Ook niet helemaal correct waarschijnlijk maar een betere benadering dan een constante snelheid. In dit geval bereikt de schaatser na 51 meter, in 6.5 seconde zijn kruissnelheid. Op dat moment heeft hij een achterstand van 42 meter op de virtuele streep. Die loopt hij in de rest van de rit in. Bij het uitkomen van de tweede bocht (op ongeveer 400 m) heeft hij daarbij nog altijd een achterstand van zo’n negen meter op de streep. Toch komen streep en schaatser na 35 seconden precies gelijk op de finish aan. In onderstaande grafiekjes is het verloop van de race tussen schaatser en streep geschetst.

De ontwikkeling van de snelheid van de streep en van de schaatser
De ontwikkeling van de snelheid (in m/s) van de streep en van de schaatser
Het verloop van de wedstrijd tussen de schaatser en zijn 'eigen' streep
Het verloop van de wedstrijd tussen de schaatser en zijn ‘eigen’ streep
De achterstand van een schaatser op de streep die tegelijk met hem finist
De achterstand van een schaatser op de streep die tegelijk met hem finist

Je hebt dus eigenlijk niet veel aan die streep. Het kan echter vrij gemakkelijk beter. Als de regie de positie van de streep niet baseert op de eindtijd van de schaatser wiens tijd wordt weergegeven, maar op zijn rondetijd wordt hij veel nauwkeuriger. De kijker kan dan een realistischer wedstrijd zien tussen de schaatser en zijn tegenstander in een eerdere rit.

Update: Bij het kijken naar de Olympische spelen valt me op dat de positie van de streep nu wel goed overeenstemt met die van de rijder die die tijd gereden heeft. Het lijkt erop dat hij nu gebaseerd is op daadwerkelijke metingen van die rijder of berekend op basis van de volle-rondetijd.

 

 

Kun je met gokken geld verdienen?

Als je met gokken geld wilt verdienen kun je het beste een casino beginnen. Alle gokspelen zijn zo ingericht dat het casino op de lange duur altijd met winst eindigt. Op de roulette kun je bijvoorbeeld inzetten op 36 nummers. Als het balletje op jouw nummer valt krijg je 35 keer plus je inzet terug. Er zijn echter 37 mogelijke uitkomsten: 0 tot en met 36. Dat betekent dat op de lange duur 1/37 van je totale inzet bij het casino terecht komt.

Of toch niet? Er zijn spelers die beweren dat ze door systematisch in te zetten toch winst kunnen maken. Het bekendste systeem hiervan is de martingaal, of verdubbelingsstrategie. Het idee er achter is in te zetten op de helft van de nummers (rood of zwart, even of oneven) waarmee bij winst de inzet wordt verdubbeld. De winkans is 18/37. Als je wint neem je de winst, als je verliest zet je opnieuw in met een verdubbelde inzet. Als je stopt direct nadat je een keer hebt gewonnen zul je altijd met winst eindigen. Het probleem is echter dat je inzetten steeds groter moeten worden als je blijft verliezen, en dat op een zeker moment het casino dicht gaat. Het kan dus zijn dat je met een groot verlies blijft zitten aan het eind van de avond.

Recent schreef Ionica Smeets een artikel in NWT magazine over een speelster die beweerde dat ze een winnend systeem had gevonden. Het bleek dat zij een variant van de martingaal had bedacht. In plaats van op 18 getallen zette zij in op dozijnen (b.v. 1-12, 13-24 of 24-36) en verhoogde de inzet volgens een zelfberekend schema dat er voor zorgt dat de totale balans direct na een winst positief eindigt. In het artikel werd ook duidelijk dat de strategie gevaarlijk is: ondanks haar voornemen vooraf liep de speelster toen het even tegen leek te zitten al bijna naar de pinautomaat.

Voor dat artikel maakte ik een simulatie van deze strategie. De plaatjes die deze simulatie maakt staan bij het artikel afgedrukt. Het spelen met de simulatie geeft inzicht in hoe de strategie werkt – en dat hij op de lange duur altijd tot verlies leidt. Die simulatie staat hieronder.

Je kunt spelen volgens de klassieke martingaal (met verdubbelen) en met het systeem van Ingrid Flieger, zoals uitgelegd in het artikel van Ionica. De inzet is altijd 5 euro of een veelvoud daarvan. Je kunt instellen hoeveel ronden je maximaal op een avond kunt spelen en met hoeveel geld je begint. De simulatie stopt als je de inzet die het systeem van je vraagt groter is dan de hoeveelheid geld die je in je zak hebt, of als het aantal ronden is bereikt. In het grafiekje geeft de blauwe lijn aan hoeveel geld je bezit, de gele wat je totaal hebt ingezet en de rode wat de inzet is voor de huidige ronde. Als rood blauw kruist ben je blut.

Met de simulatie kun je ook een aantal avonden achter elkaar simuleren. De grafiek laat dan een staafdiagram zien van je kapitaal aan het eind van elke avond. De meeste laten een bescheiden winst zien, maar op de avonden dat je verliest is het verlies meteen erg groot. Onder de grafiek verschijnt de eindbalans. Trek zelf je conclusies….

Tandwielen en priemgetallen

Deze week hadden we een afdelingsuitje. Op tandems maakten we een fietstocht door Twente en maakten een stop bij twee watermolens, waaronder die in Haaksbergen. Een watermolen is zestiende-eeuwse high-tech. De waterkracht drijft een ingenieus ontworpen stelsel van tandwielen aan waarmee allerlei taken kunnen worden verricht. Deze molen is een dubbele molen. Links staat een oliemolen waarin olie uit zaden wordt geperst, rechts een graanmolen. In onderstaand filmpje zie je de oliemolen in werking.


(De video is gemaakt door Nico Rutten)

Niet alleen de walsen worden aangedreven met waterkracht, ook de persen en eigenlijk alles waar energie voor nodig is functioneert op waterkracht. Wanneer een machine wordt aangedreven door de molen wordt die gekoppeld met houten tandwielen. Nu geeft dat een probleem. Tandwielen slijten en houten tandwielen zeker. Wanneer een tand een klein beetje een afwijkende vorm heeft, en voor een houten tandwiel is dat zeker niet bijzonder, slijt die een beetje harder en onregelmatig. Als die tand altijd aangrijpt op dezelfde tand van het tandwiel dat aangedreven wordt gaat die tand ook harder slijten, de tanden slijten op elkaar in en breken sneller af. Het is daarom zaak ervoor te zorgen dat niet steeds dezelfde tanden op elkaar ingrijpen zodat de slijtage zo regelmatig mogelijk is en over alle tanden wordt verdeeld. Maar hoe doe je dat?

Hier komt de wiskunde te hulp. Wanneer twee tandwielen precies even veel tanden hebben komen de tanden iedere omwenteling in elkaar. Door met de aantallen tanden te variëren kun je dat veranderen. Het makkelijkst is het verschil 1 tand te maken, zoals hieronder is te zien. Zowel het middelste tandwiel als dat rechtsonder hebben 16 tanden. Bij iedere omwenteling grijpen dezelfde tanden in elkaar. Het tandwiel links heeft 17 tanden. Bij dat tandwiel komt het veel minder vaak voor dat weer dezelfde tanden in elkaar grijpen: pas na 16 omwentelingen grijpen de tanden weer in elkaar zoals in het begin. In die tijd heeft het middelste tandwiel 17 omwentelingen gemaakt. 16 keer 17 tanden is natuurlijk gelijk aan 17 keer 16 tanden.

(Deze video is gemaakt met behulp van GearSketch, een programma gemaakt door Frank Leenaars)

In het algemeen geldt dat je moet opletten dat twee tandwielen geen gemeenschappelijke delers hebben, behalve dan 1. Als dat wel zo is, zullen tanden vaker in elkaar grijpen. Een tandwiel met 15 tanden dat draait op een tandwiel met 20 tanden is na 4 rondjes alweer terug bij af, omdat beiden deelbaar zijn door 5. In wiskundige termen, de aantallen tanden moeten relatief priem zijn.

Het makkelijkst is dat natuurlijk als de aantallen zelf priemgetallen zijn, en je elk aantal maar 1 keer gebruikt. Priemgetallen hebben alleen zichzelf en 1 als deler, en gemeenschappelijke delers groter dan 1 zijn nooit te vinden voor twee priemgetallen. De ontwerpers van de molens hadden dat ook begrepen toen zij hun tandwielen maakten. Geen twee tandwielen hebben gelijke aantallen tanden en de verhoudingen zijn zo gekozen dat er geen regelmatig slijtpatroon ontstaat. Op het filmpje zijn de aantallen van de meeste tandwielen niet goed te tellen. Het lukte me voor het verticale rad dat de pers aandrijft. Het zijn er 43, een priemgetal….

Een cellulair ecosysteem

Als je er aan begint ben je verslaafd. En als je één cellulaire automaat hebt gemaakt is de volgende niet zo moeilijk meer. Deze is een klassieker, en in onderzoek ook veel gebruikt, dan wel in wat uitgebreidere vorm: een ecosysteem bestaande uit verschillende onderdelen van de voedselketen. Ik heb het simpel gehouden en gekozen voor twee verschillende onderdelen van het ecosysteem: gras en konijnen. Net als bij de vorige cellulaire automaten zijn er enkele simpele regels waaraan de bewoners van de cellen zich houden. En zelfs met deze simpele regels kun je interessant gedrag zien ontstaan. De regels:

Voor Gras:

  1. Als er in je directe omgeving (de cellen links, rechts, boven of onder) een lege cel is wordt die in 20% van de gevallen gevuld met gras. [Gras groeit].

Voor de konijnen:

  1. Konijnen beginnen met een energie van 10.
  2. Iedere stap neemt de energie van een konijn af met 1. [Leven kost energie]
  3. Als de energie onder nul zakt sterft het konijn en laat een lege cel achter. [De hongerdood]
  4. Als het konijn naast een cel met gras staat, kan het konijn eten. De kans daarop is 1-energie/10 en wordt dus groter met afnemende energie (honger). Als het konijn eet springt het naar de cel met gras en stijgt zijn energie met 3. [Konijnen eten]
  5. Als je naast precies één ander konijn staat, en de energie van beide konijnen is groter dan 5, is er een kans (40%) dat er een nieuw konijn ontstaat in een cel naast het konijn. [Voortplanting]

Er zijn twee belangrijke toevoegingen aan de regels ten opzichte van de vorige automaten. Er is een kanselement ingebracht, sommige regels kunnen met een bepaalde kans worden uitgevoerd. Bovendien heeft het konijn een interne toestand, zijn energie, die het gedrag van het konijn bepaalt (wel/niet eten, wel niet voortplanten, sterven). En je kunt me aanvallen op de biologische correctheid omdat ieder konijn met ieder willekeurig ander konijn kan voortplanten. Hier zie je het resultaat:

In veel gevallen zie je dat het aantal konijnen vaak ongeveer stabiel blijft, met af en toe bevolkingsexplosies van konijnen. Die leiden dan tot grote kaalgevreten plekken waardoor konijnen in een hoog tempo afsterven. In veel gevallen blijven er een paar over die op termijn zich weer gaan vermenigvuldigen. Het systeem kan dus een stootje hebben. Maar soms gaat het fout en sterven alle konijnen. Het overkwam mij een aantal keer dat ik een eenzaam zwervend konijntje overhield. Dat heeft het eeuwige leven want in dit model is niet voorzien in sterven van ouderdom.

Hoe korter hoe sneller

Tussen de sportuitslagen in de Volkskrant van 16 april stond de volgende fascinerende foto:

Het is de fotofinish van de Grand National. Op de foto is te zien dat het paard op de voorgrond net iets eerder over de finish gaat dan het paard op de achtergrond, met een nauwelijks waarneembaar verschil. Ik vind dit een fascinerende foto, niet alleen vanwege de close finish, maar ook door de manier waarop de foto wordt gemaakt. Finishfoto’s als deze lijken misschien op een opname die op het moment is gemaakt dat het eerste paard over de finish loopt maar is dat niet. Het is geen momentopname maar een opname van de tijd zoals die op de finishlijn verstrijkt. De verticale witte lijn is dan ook niet een aanduiding van plaats maar van tijd.

Het beste zie je dat aan de strepen op de achtergrond. Een streep is een punt dat stilstaat, precies in het beeld van de camera. Dat beeld is een heel smal spleetje en de “film” registreert wat er voorbijkomt. In de tijd van analoge camera’s werd een film met hoge snelheid achter de spleet langs getrokken. In het digitale tijdperk gebeurt dat virtueel. De film beweegt dus en een punt in beeld trekt een horizontale lijn. Het lijkt een beetje op grafieken die natuurkundigen graag tekenen om beweging zichtbaar te maken:

In het plaatje loopt de tijd van beneden naar boven en de plaats van links naar rechts. De verticale blauwe lijn is een punt dat stil staat. De twee paarden worden afgebeeld door de groene en oranje lijnen die aangeven dat ze van links naar rechts bewegen als de tijd voortschrijdt. Als ik met een gewone camera een foto zou maken leg ik alles vast binnen het horizontale balkje in de grafiek: verschillende plaatsen op 1 moment. De fotofinishcamera neemt een verticale doorsnede, het rode balkje: verschillende tijden op 1 plaats. Het verschil tussen de grafiek en de finishfoto is dat de tijd van rechts naar links loopt en in plaats van 1 punt een smalle streep wordt opgenomen.

Doordat je tijd en niet plaats opneemt  veranderen dingen soms van vorm. Dat zie je goed aan de volgende finishfoto waarin de voet van de nummer 2 precies op de finish heeft gestaan. Doordat hij daar een fractie van een seconde stilstond is de voet uitgerekt.

 

Als je dat weet kun je beredeneren dat hoe sneller iets beweegt hoe smaller de afbeelding op de foto. Het paard op de eerste foto ziet er wat gedrongen uit, meer dan het achterste paard. Dat betekent dat het sneller loopt en waarschijnlijk vlak voor de finish op kop kwam. Als de race een paar centimeter korter was geweest had het andere paard gewonnen.

 

Files tekenen

Files zijn altijd vervelend, maar sommige zijn erger dan andere. Als er een duidelijke oorzaak van een file is, zoals wegwerkzaamheden of een ongeluk kun je er begrip voor opbrengen, maar dat kan niet altijd. Sommige files ontstaan zomaar, zonder duidelijke reden. Als je door die file heen bent kun je weer harder gaan rijden zonder een idee te hebben waarom je nou per se langzamer moest. Om even later weer in een opstopping te belanden.

De reden dat zulke files ontstaan is dat we niet allemaal met dezelfde snelheid rijden, maar dat er kleine variaties in snelheid zijn. Wanneer iemand daardoor op iemand anders dreigt te botsen wordt er afgeremd, vaak iets sterker dan nodig waardoor een achterligger iets sterker moet afremmen, enzovoort. Onderzoekers van de Nagoya universiteit demonstreerden dit effect op een mooie manier door auto’s met 30 km per uur op een ronde weg te laten rijden. Omdat niemand precies 30 rijdt onstaan binnen de kortste tijd opstoppingen.

Net als in het echt zie je klonten van auto’s ontstaan. In SimSketch zijn die zelfs wat heftiger dan in het echt omdat de minimale afstand tussen twee auto’s kleiner is.

Het maken van het model in SimSketch is simpel. Je tekent de rotonde en een auto. Aan beide objecten geef je een naam en gedrag, door er een ‘stickertje’ op te plakken. De auto krijgt vier stickers: één voor de naam, één om te vertellen dat de weg gevolgd moet worden,  één om andere auto’s en dus botsingen te vermijden en een ‘fabriekje’om aan te geven dat ik een aantal auto’s wil hebben:

En dat is genoeg om te begrijpen hoe een file kan ontstaan…. Meer over SimSketch op www.modeldrawing.eu

 

Kan ik veilig oversteken

Een vraag die me al heel lang bezighoudt is hoe we in staat zijn veilig de straat over te steken. Je staat aan de kant van de weg, een auto nadert, en jij wil naar de overkant. Hoe schat je in of je nog voor die auto langs kunt?

Het model om uit te rekenen of je over kunt steken is eenvoudig en bekend. Stel dat je stevig doorstapt met een snelheid van 2 meter per seconde ofwel 7,2 km per uur. De meeste mensen slenteren niet naar de overkant. En stel dat de weg 10 meter breed is, dan doe je 5 seconden over je oversteek. Als de auto met 50 km per uur aan komt rijden legt hij in die 5 seconde iets minder dan 70 meter af (50 km/h = 13.9 m/s keer 5 is 69.5 meter). Als de auto dus verder weg is dan die 70 meter kun je veilig oversteken. Simpel.

Er is echter een klein probleem. Ik heb nog nooit iemand langs de kant van de weg zien staan met  een rekenmachine om bovenstaande berekening te maken. Dat zou ook niet werken, tegen de tijd dat de berekening klaar is, is de auto al voorbij. En hoe bepaal je de afstand tot, en de snelheid van de auto? Ons model is dus goed, maar niet bruikbaar.

We doen het dus anders. Kennelijk hebben we een manier om het filmpje van de naderende auto en onze oversteek vooruit te spoelen in ons hoofd en te voorspellen of we zullen botsen of niet. Mentale filmpjes vooruit kunnen spoelen is natuurlijk erg nuttig in het leven van mens en dier. Een roofdier rent naar de plek waar het zijn prooi verwacht te treffen, niet naar de plek waar de prooi is. Het prooidier kan dat weer ondermijnen door zich zo onvoorspelbaar mogelijk te bewegen en het model van de jager te ontregelen. Balsporters kunnen door vooruit te spoelen anticiperen op de bal om hem te vangen of terug te kunnen slaan.

Jeffry Zacks heeft onderzocht en gevonden welk deel van de hersenen betrokken zijn bij het voorspellen van de toekomst op korte termijn. Minstens zo interessant is hoe we dat doen. Om met enige nauwkeurigheid veilig over te kunnen steken moeten we in staat het filmbeeld van de auto met de juiste snelheid over ons interne scherm verplaatsen. Ik weet niet hoe we dat doen, maar ik stel me reeksen neuronen voor die vuren in het tempo van de geprojecteerde naderende auto. Omdat het belangrijk is dat we objecten kunnen ontwijken of juist vangen moet het model wel in de bedrading van ons brein zitten. En zo heb ik een model gemaakt van een model.

Of ik er veel aan heb als ik weer eens vlak voor een aanstormende auto de weg oversteek weet ik niet. Waarschijnlijk negeer ik mijn ingebouwde model omdat ik een trein wil halen. De afweging tussen een half uur verliezen door een gemiste trein en de gevolgen van een botsing met een auto heb ik kennelijk nog steeds niet goed gemaakt.