Categorie archief: Wiskunde

Waarom Wiskunde?

Afgelopen maand mocht ik op het 2e fasecongres wiskunde van Noordhof een lezing houden voor ongeveer 500 leraren wiskunde. De aanleiding daarvoor was het nieuwe examenprogramma voor wiskunde en de daarmee samenhangende presentatie van de nieuwe edities van de twee grootste wiskundemethodes, allebei uitgegeven door Noordhof: Getal en Ruimte en Moderne Wiskunde. De kans is groot dat u in uw schooltijd wiskunde heeft geleerd uit één van deze methodes. In die lezing heb ik een uitspraak gedaan die een klein stofwolkje deed opwaaien, ik pleitte voor afschaffing van de grafische rekenmachine bij de examens wiskunde. Daarbij merkte ik dat er op me wordt gelet, in mijn rol als wetenschappelijk directeur van het Freudenthal Instituut. De gezworen vijanden van het FI, Beter Onderwijs Nederland, publiceren zelfs dat mijn uitspraken hoopvol zijn. Omdat mijn slides niet alles zeggen, en ik de interpretatie daarvan niet graag aan anderen over laat geef ik hier een kleine samenvatting van mijn lezing.

De centrale vraag die ik mezelf stelde is waarom we eigenlijk wiskunde doen op school. De aanleiding is enige onvrede met de methodes, waarin veel aandacht is voor wiskunde als instrument: handig om dingen uit te rekenen, nuttig voor een studie of carrière maar meer ook niet. Ik denk zelf dat wiskunde meer is dan dat, en begon mijn lezing met aan de mensen in de zaal te vragen wat zij daarvan vonden. Daarnaast had ik een paar mensen gevraagd een korte video in te spreken waarin zij hun visie gaven op de vraag waarom je wiskunde moet leren. Mijn Collega Dolly van Eerde had het aan leerlingen gevraagd. Hogeschooldocent Sander Claassen noemde een aantal redenen maar benadrukte vooral dat wiskunde leuk is: kinderen vinden het leuk om puzzels op te lossen en dingen uit te zoeken. Dat moet je koesteren en ze niet afleren. Ionica Smeets pleit ervoor om leerlingen begrip van getallen bij te brengen omdat je dan veel meer begrijpt in het dagelijks leven. Tot slot spreekt Erik van den Ban, een wiskundige aan de universiteit Utrecht zijn fascinatie uit voor de schoonheid van het bouwwerk van de wiskunde.

Ik heb uit de video’s zes beweegredenen gehaald die ik in bovenstaande figuur samenvatte en daar weer drie perspectieven uitgehaald (wetenschap is ordenen tenslotte): De instrumentele blik, waarin wiskunde vooral wordt gezien als een nuttig gereedschap, het inzichtsperspectief, waarin wiskunde vooral helpt om dingen te begrijpen en het culturele en persoonlijke perspectief. Bij die laatste is mijn stelling dat wiskunde net zo goed een uiting van menselijke cultuur is als de toneelstukken van Shakespeare en de schilderijen van Van Gogh. Wiskunde kan daarom ook een levensvervulling bieden, los van concrete directe toepassing. Ik pleit daarom ook voor onderwijs in de geschiedenis van de wiskunde en dat helden in de wiskunde net zo goed geleerd mogen worden als die in schilderkunst en literatuur.

WhyMath

In mijn betoog had ik twee kritische opmerkingen over elementen in het wiskunde-onderwijs en de methoden. De ene betreft het gebruik van contexten. Wanneer je wiskunde ziet als instrument is het nuttig om daarbij een context aan te bieden waarin dat instrument wordt toegepast. Bijvoorbeeld kan het zinnig zijn om te laten zien dat wiskunde wordt toegepast in andere vakgebieden zoals economie of natuurkunde. Het verdient de voorkeur dat die contexten ook daadwerkelijk iets betekenen voor de leerling. De wens voor die contexten is echter doorgeslagen. In de wiskundemethoden kom je veel sommen tegen waar een verhaaltje tegenaan is geplakt als context, zonder dat dit echt betekenis heeft. Sterker nog, soms zijn die verhaaltjes onzinnig, zoals onderstaand voorbeeld uit Getal en Ruimte:

Motorfiets

Ten eerste komt de functie voor de afgelegde weg volkomen uit de lucht vallen. Als je een natuurkundig verschijnsel analyseert zal je op zijn minst moeten zeggen waar het model dat je gebruikt vandaan komt. Bovendien is de functie vreemd. Dat is het beste te zien als je de versnelling berekent die bij deze functie hoort: a = 6*t. Dus op t=2, het tijdstip waarover vragen worden gesteld is de versnelling al 12 m/s^2. Dat is meer dan de valversnelling. De motorrijder hangt dus aan zijn stuur als Epke Zonderland aan zijn rekstok: de horizontale kracht die hij voelt is meer dan de zwaartekracht. Mijn punt hierbij is dat de context niets zinnigs toevoegt, natuurkundig fout is en dat leerlingen op deze manier niet serieus genomen worden.

Mijn andere punt betreft de grafische rekenmachine. Deze apparaten mogen worden gebruikt bij het wiskunde-examen. Ik heb niets tegen ICT-gebruik bij de wiskundeles, maar dit apparaat is een bizar geval. Het wordt alleen op school gebruikt, is onhandig en is volkomen verouderd. Als leerlingen ICT gebruiken gebruik dan goede tools, zoals Wolfram Alpha of Geogebra. Ik zou willen dat leerlingen leren dergelijke tools op een goede manier te gebruiken, in plaats van een apparaat dat ze na school nooit meer tegen komen. Ik zou dan ook de commissie die daar over gaat willen oproepen de grafische rekenmachine op zo kort mogelijke termijn af te schaffen. On-line tools zijn misschien niet praktisch tijdens een centraal schriftelijk examen, maar dat hoeft niet erg te zijn, dat kan ook met behulp van een werkstuk tijdens het schoolexamen bijvoorbeeld.

Ik hoop met mijn lezing de wiskunde-onderwijswereld aan het denken te hebben gezet: Waarom geven we dat mooie vak, en hoe doen we dat zo goed mogelijk. Met daarbij vooral ook aandacht voor de mooie kanten van wiskunde als discipline: haar geschiedenis, als middel om de wereld om ons heen te begrijpen en als iets dat gewoon mooi, leuk en interessant is.

Efficiente kennis, een meetbare grootheid?

I also have an English version of this blog.

Soms lukt het je niet om een artikel geplaatst te krijgen in een wetenschappelijk tijdschrift. Zelfs als je zelf overtuigd bent dat het artikel een waardevolle bijdrage aan het veld levert gebeurt het je soms dat je stuk niet wordt gewaardeerd. Dat ligt in eerste instantie natuurlijk aan jezelf. Kennelijk lukt het je niet je idee overtuigend genoeg te brengen. Soms krijg je ook je idee niet aan de man omdat je sterk tegen een bepaald idee ingaat, en de reviewers steeds dat idee blijven verdedigen. Frustrerend. Ik heb zo’n artikel op de plank liggen over het begrip “Instructional Efficiency”. Dat is een maat die wel gebruikt wordt in de theorie van Cognitive Load, die beweert dat je bij instructie rekening moet houden met het werkgeheugen van de leerling. Daar is op zich niets mis mee, maar de wijze waarop aanhangers van de theorie de Cognitive Load meten en de conclusies die ze trekken liggen wel onder vuur. Een van de begrippen die gebruikt wordt is dat van “Instructional Efficiency”, ook wel “Relative Condition Efficiency” genoemd. Vanaf hier noem ik het kortweg “Efficiency”. Het idee is dat het een maat is voor de kwaliteit van iemands kennis. Hoe hoger de efficiency van iemands kennis, hoe beter die is. Die efficiency is een trade-off van prestatie en “Mental Effort”. Als je goed presteert op een taak met weinig mentale inspanning is je kennis efficiënter dan van iemand die dezelfde prestatie haalt met meer inspanning is de redenering. Nu kun je over die redenering twisten, maar dat is niet mijn punt. Mijn bezwaar ging over de wiskundige definitie van Efficiency.

Omdat Efficiency zowel gaat over prestatie als inspanning moet je beiden kunnen meten. Prestatie is relatief makkelijk te meten vaak gaat het het aantal punten op een toets, genormeerd naar een percentage. Door onderzoekers naar Cognitive Load wordt in de regel mentale inspanning gemeten door proefpersonen op een schaal van 1 tot 9 aan te laten geven hoe belastend ze een bepaalde taak vinden. Ook daar is kritiek op te geven: in welke mate kunnen proefpersonen dat zelf aangeven en moet je behalve belasting niet ook de tijd meenemen die proefpersonen over de taak hebben gedaan. Die discussie wordt elders gevoerd. Wat echter curieus is, is de wijze waarop  vervolgens efficiency wordt berekend. Dat gebeurt met de volgende formule:

Efficiency

De redenering achter de formule is de volgende: Iemand met een gemiddelde prestatie(P) en een gemiddelde inspanning(R) heeft efficiency 0. Om dat van iemand anders te berekenen berekenen we hoeveel hij van de gemiddelden afwijkt, door z-scores te berekenen. Een z-score is het verschil met het gemiddelde, gedeeld door de standaardafwijking, een maat voor de spreiding van de gegevens. Dat punt wordt uitgezet in een grafiek en je berekent de afstand tot de lijn waarvoor beide z-scores gelijk zijn. Om dat helder te maken heb ik dit in een simulatie weergegeven. 

In onderstaande grafiek worden twee of drie condities vergeleken, bijvoorbeeld de kennis die het resultaat is van verschillende vormen van instructie. De efficiency is de lengte van het lijntje tussen de rode punten en de lijn die onder 45 graden getekend staat. Door op “Simulate” te drukken wordt een nieuwe dataset gegenereerd. 

Wat is nu mijn bezwaar tegen deze manier van berekenen? Dat zijn er twee: ten eerste wordt hier een grafiek verward met een meetkundig vlak. In een grafiek staan langs x-as en y-as twee grootheden met verschillende eenheden. In een meetkundig vlak kun je afstanden tussen punten meten, in een grafiek kun je dat niet omdat de horizontale en verticale eenheden verschillen. Een schuin lijntje heeft daarin geen betekenis. Het is alsof je meters bij liters op zou kunnen tellen.

Het tweede bezwaar betreft het feit dat de maat afhankelijk is van de verdeling. Als je bij dezelfde gemiddelden de standaarddeviaties varieert zie je dat de efficiency verandert, en zelfs om kan keren. Vul hierboven maar eens achtereenvolgens voor de standaarddeviatie van performance 20, 10 en 1 in en kijk wat dat met de efficiency doet. Een maat die afhangt van de verdeling van de scores kan geen goede maat zijn. Ook wanneer een derde conditie wordt toegevoegd zie je de efficiency van de originele condities veranderen. 

Hier vind je het manuscript waarmee ik geleurd heb bij meerdere tijdschriften. Als je geïnteresseerd bent, zeker als je enige wiskundige of statistische achtergrond hebt stel ik je commentaar op prijs.

Het 100-veld – in vele afmetingen

Leren rekenen is een hele uitdaging, zeker wanneer je met optellen of aftrekken over tientallen heen moet. Ook het automatiseren van de tafels van vermenigvuldiging gaat niet bij alle kinderen vanzelf. Om goed te leren rekenen is het nodig een goed begrip te hebben van hoe het getalstelsel in elkaar zit, en hoe je daar op een snelle manier de weg in vindt. Het helpt daarbij om een goede voorstelling te hebben van de getallen en hun samenhang, zodat je de verschillende stappen van de rekenkundige operaties kunt visualiseren. Een voorbeeld is de getallenlijn. Optellen en aftrekken kun je zien als stappen naar rechts of naar links op deze lijn. Met deze visualisatie kun je leren inzien hoe die elementaire rekenhandelingen werken. Dit werkt voor getallen die niet te groot zijn. Voor getallen tot honderd kwam ik via @ionicasmeets een getallenpijl tegen. Ik zag niet het precieze voordeel van die pijl (Ionica ook niet trouwens), maar misschien begrijp ik het niet helemaal. Op dezelfde pagina staat een ‘number map’, en die lijkt weer veel op het aloude honderdveld, dat wel een geweldige representatie is van getallen in het tientallig stelsel. Het veld staat hieronder.

Rekenoperaties tot 100 kunnen in dit veld worden gezien als stappen in het veld. Voor bijvoorbeeld 15+23 ga je naar het veld 15, dan 2 omlaag en 3 naar rechts. Als je aan het eind van de rij bent tel je op de volgende rij verder. Gaat – tot 100 – altijd goed. Op de lagere school heb ik alle tafels op het vel ingekleurd. Als je alle veelvouden van 3 inkleurt krijg je een patroon van diagonale lijnen, en zo heeft elke tafel een patroon. En, zoals Ionica opmerkte, het honderdveld is een mooie visualisatie om met de zeef van Eratosthenes de priemgetallen tot 100 te bepalen. Het bovenstaande 100-veld is interactief: als je op een getal klikt kleurt het alle veelvouden van dat getal in. En het knopje ‘Priemgetallen’ laat een animatie zien hoe je met de zeef alle niet-priemgetallen weg kunt strepen.

Om echt te waarderen hoe handig het 100-veld is, is het leuk om het te gebruiken om te proberen snel te leren rekenen in een ander talstelsel. Je kunt het getallenvierkant groter maken door een getal in het vakje erboven in te vullen. Als je bovendien het vakje eronder aanvinkt worden de getallen genoteerd in het talstelsel met als grondtal de breedte van het vierkant. Dat laatste werkt voor getalstelsels van 2 tot en met 37. Als symbolen voor cijfers groter dan 10 worden de letters van het alfabet gebruikt en het teken #. Speel maar eens met de patronen in een 16-tallig stelsel, of bedenk wanneer het zo is dat een getal deelbaar is door een cijfer als de som van de cijfers dat ook is (zoals bij 3 en 9 in het tientallig stelsel). Wat als de basis een priemgetal is? En hoe ziet de verdeling van de priemgetallen er uit voor grotere vierkanten? Zoals je ziet blijft het vierkant altijd een 100-vel, waarbij 100 natuurlijk in elk getalstelsel een ander getal verbeeldt.

Als je met grotere vierkanten wilt spelen past het vierkant niet meer op deze blogpagina. Klik dan hier voor een pagina met alleen het vierkant. Op dat moment is alleen de grootte van je scherm de beperkende factor. En als je ideeën hebt voor interessante toepassingen   of inkleuringen kan ik die misschien aan het veld toevoegen.

Update: Naar aanleiding van de reactie van Ionica heb ik het veld een beetje aangepast: de priemgetallen bouwen nu wat langzamer op, en elke tafel die je wegstreept heeft zijn eigen kleur. De witte, vetgedrukte cellen getallen die overblijven zijn de priemgetallen. Voor  grotere vierkanten neemt het programma grotere stappen en streept het hele tafels in één keer weg, omdat het anders heel lang gaat duren.

 

Kun je met gokken geld verdienen?

Als je met gokken geld wilt verdienen kun je het beste een casino beginnen. Alle gokspelen zijn zo ingericht dat het casino op de lange duur altijd met winst eindigt. Op de roulette kun je bijvoorbeeld inzetten op 36 nummers. Als het balletje op jouw nummer valt krijg je 35 keer plus je inzet terug. Er zijn echter 37 mogelijke uitkomsten: 0 tot en met 36. Dat betekent dat op de lange duur 1/37 van je totale inzet bij het casino terecht komt.

Of toch niet? Er zijn spelers die beweren dat ze door systematisch in te zetten toch winst kunnen maken. Het bekendste systeem hiervan is de martingaal, of verdubbelingsstrategie. Het idee er achter is in te zetten op de helft van de nummers (rood of zwart, even of oneven) waarmee bij winst de inzet wordt verdubbeld. De winkans is 18/37. Als je wint neem je de winst, als je verliest zet je opnieuw in met een verdubbelde inzet. Als je stopt direct nadat je een keer hebt gewonnen zul je altijd met winst eindigen. Het probleem is echter dat je inzetten steeds groter moeten worden als je blijft verliezen, en dat op een zeker moment het casino dicht gaat. Het kan dus zijn dat je met een groot verlies blijft zitten aan het eind van de avond.

Recent schreef Ionica Smeets een artikel in NWT magazine over een speelster die beweerde dat ze een winnend systeem had gevonden. Het bleek dat zij een variant van de martingaal had bedacht. In plaats van op 18 getallen zette zij in op dozijnen (b.v. 1-12, 13-24 of 24-36) en verhoogde de inzet volgens een zelfberekend schema dat er voor zorgt dat de totale balans direct na een winst positief eindigt. In het artikel werd ook duidelijk dat de strategie gevaarlijk is: ondanks haar voornemen vooraf liep de speelster toen het even tegen leek te zitten al bijna naar de pinautomaat.

Voor dat artikel maakte ik een simulatie van deze strategie. De plaatjes die deze simulatie maakt staan bij het artikel afgedrukt. Het spelen met de simulatie geeft inzicht in hoe de strategie werkt – en dat hij op de lange duur altijd tot verlies leidt. Die simulatie staat hieronder.

Je kunt spelen volgens de klassieke martingaal (met verdubbelen) en met het systeem van Ingrid Flieger, zoals uitgelegd in het artikel van Ionica. De inzet is altijd 5 euro of een veelvoud daarvan. Je kunt instellen hoeveel ronden je maximaal op een avond kunt spelen en met hoeveel geld je begint. De simulatie stopt als je de inzet die het systeem van je vraagt groter is dan de hoeveelheid geld die je in je zak hebt, of als het aantal ronden is bereikt. In het grafiekje geeft de blauwe lijn aan hoeveel geld je bezit, de gele wat je totaal hebt ingezet en de rode wat de inzet is voor de huidige ronde. Als rood blauw kruist ben je blut.

Met de simulatie kun je ook een aantal avonden achter elkaar simuleren. De grafiek laat dan een staafdiagram zien van je kapitaal aan het eind van elke avond. De meeste laten een bescheiden winst zien, maar op de avonden dat je verliest is het verlies meteen erg groot. Onder de grafiek verschijnt de eindbalans. Trek zelf je conclusies….

Tandwielen en priemgetallen

Deze week hadden we een afdelingsuitje. Op tandems maakten we een fietstocht door Twente en maakten een stop bij twee watermolens, waaronder die in Haaksbergen. Een watermolen is zestiende-eeuwse high-tech. De waterkracht drijft een ingenieus ontworpen stelsel van tandwielen aan waarmee allerlei taken kunnen worden verricht. Deze molen is een dubbele molen. Links staat een oliemolen waarin olie uit zaden wordt geperst, rechts een graanmolen. In onderstaand filmpje zie je de oliemolen in werking.


(De video is gemaakt door Nico Rutten)

Niet alleen de walsen worden aangedreven met waterkracht, ook de persen en eigenlijk alles waar energie voor nodig is functioneert op waterkracht. Wanneer een machine wordt aangedreven door de molen wordt die gekoppeld met houten tandwielen. Nu geeft dat een probleem. Tandwielen slijten en houten tandwielen zeker. Wanneer een tand een klein beetje een afwijkende vorm heeft, en voor een houten tandwiel is dat zeker niet bijzonder, slijt die een beetje harder en onregelmatig. Als die tand altijd aangrijpt op dezelfde tand van het tandwiel dat aangedreven wordt gaat die tand ook harder slijten, de tanden slijten op elkaar in en breken sneller af. Het is daarom zaak ervoor te zorgen dat niet steeds dezelfde tanden op elkaar ingrijpen zodat de slijtage zo regelmatig mogelijk is en over alle tanden wordt verdeeld. Maar hoe doe je dat?

Hier komt de wiskunde te hulp. Wanneer twee tandwielen precies even veel tanden hebben komen de tanden iedere omwenteling in elkaar. Door met de aantallen tanden te variëren kun je dat veranderen. Het makkelijkst is het verschil 1 tand te maken, zoals hieronder is te zien. Zowel het middelste tandwiel als dat rechtsonder hebben 16 tanden. Bij iedere omwenteling grijpen dezelfde tanden in elkaar. Het tandwiel links heeft 17 tanden. Bij dat tandwiel komt het veel minder vaak voor dat weer dezelfde tanden in elkaar grijpen: pas na 16 omwentelingen grijpen de tanden weer in elkaar zoals in het begin. In die tijd heeft het middelste tandwiel 17 omwentelingen gemaakt. 16 keer 17 tanden is natuurlijk gelijk aan 17 keer 16 tanden.

(Deze video is gemaakt met behulp van GearSketch, een programma gemaakt door Frank Leenaars)

In het algemeen geldt dat je moet opletten dat twee tandwielen geen gemeenschappelijke delers hebben, behalve dan 1. Als dat wel zo is, zullen tanden vaker in elkaar grijpen. Een tandwiel met 15 tanden dat draait op een tandwiel met 20 tanden is na 4 rondjes alweer terug bij af, omdat beiden deelbaar zijn door 5. In wiskundige termen, de aantallen tanden moeten relatief priem zijn.

Het makkelijkst is dat natuurlijk als de aantallen zelf priemgetallen zijn, en je elk aantal maar 1 keer gebruikt. Priemgetallen hebben alleen zichzelf en 1 als deler, en gemeenschappelijke delers groter dan 1 zijn nooit te vinden voor twee priemgetallen. De ontwerpers van de molens hadden dat ook begrepen toen zij hun tandwielen maakten. Geen twee tandwielen hebben gelijke aantallen tanden en de verhoudingen zijn zo gekozen dat er geen regelmatig slijtpatroon ontstaat. Op het filmpje zijn de aantallen van de meeste tandwielen niet goed te tellen. Het lukte me voor het verticale rad dat de pers aandrijft. Het zijn er 43, een priemgetal….

De fout in mijn tegels

In de vorige blog daagde ik de lezer uit uit te vinden welke regel was gebruikt voor de cellulaire automaat waarmee ik het patroon voor mijn badkamertegels bepaald. Het blog is redelijk vaak bekeken en via twitter kreeg ik reacties. Johan Roos (@MagliaRosa) vond zowel de regel als de fout. Hulde, want met name de fout was moeilijk te vinden.

De regel is 30 of 135. Welke van de twee hangt af van welke kleur je 1 of 0 noemt. 30 is binair 00011110 en 135 is 10000111. 135 is dus 30 gespiegeld en 1 en 0 verwisseld, hetgeen neerkomt op dezelfde regel met alle enen en nullen verwisseld. De fout was echt moeilijk te vinden. Het is een afgeknipte tegel, een driehoekje, bij de rand op de negende rij boven het bad. Hieronder een detailopname:

Als de tegel blauw had moeten zijn had volgens de regel de tegel een regel later en een naar links ook blauw moeten zijn, en hij is groen. Het aardige is dat je niet eens de regel hoeft te weten om te zien dat er een fout in zit. Overal zie je midden onder drie blauwe tegels weer een blauwe, behalve hier. Als je weet DAT er een regel is kun je concluderen dat hier een fout moet zijn.

 

 

Cellulaire automaten en badkamertegels.

In de vorige blog beschreef ik de game of life als voorbeeld van een cellulaire automaat.

Life is twee-dimensionaal, de cellen leven in een vierkant of rechthoek. Iedere cel heeft acht buren.  Een simpeler versie van een cellulaire automaat is de één-dimensionale. Hier heeft iedere cel maar twee buren. Dat geeft natuurlijk minder mogelijkheden. Het voordeel is dan weer wel dat je alle tijdstappen onder elkaar kunt tekenen. In één oogopslag zie hoe de automaat zich in de tijd ontwikkeld. En op die manier ontstaan vaak mooie patronen.

Bij één-dimensionale automaten wordt de regel waarmee de cellen veranderen vaak als een getal weergegeven. De nieuwe waarde van een cel hangt af van de waarde van de cel zelf en zijn twee buren. Dat geeft 8 verschillende combinaties: 111, 110, 101, 100, 011, 010, 001 en 000. De drie cijfers zijn de waarde van de cellen van links naar rechts. Voor iedere combinatie bepaalt de regel of de volgende waarde van de cel een 0 of 1 moet worden. Bijvoorbeeld:

111 110 101 100 011 010 001 000
1 0 0 1 1 0 0 1

Deze regel kun je dus schrijven als 10011001 in binaire notatie. In ons decimale stelsel is dat 153. Er zijn op deze manier 256 verschillende regels.

Hieronder kun je al deze regels uitproberen: vul een getal in tussen 0 en 255 en druk op “Start”. Wil je een andere proberen: maak schoon en start opnieuw.  Ik heb in de bovenste regel 1 vakje zwart gemaakt. Door te klikken kun je er meer zwart maken.

Probeer een aantal getallen uit. In veel gevallen zie je een regelmatig patroon van driehoeken ontstaan, maar soms ook patronen die tegelijkertijd regelmatig lijken maar zichzelf toch niet herhalen. Eén van die patronen vond ik zo mooi dat ik het gebruikt heb toen mijn nieuwe badkamer betegeld moest worden:

Aan de lezer is het om te ontdekken welk getal bij deze regel hoort. De tegelzetter vond het overigens wel interessant maar begreep het niet helemaal. De afdruk die ik hem gegeven had met het patroon was iets te klein. Hij heeft toen een willekeurige kleur gepakt. De foute. Kun je de fout vinden op de foto?

 

Cellulaire automaten – leven in de computer

Een van de leukste dingen die de combinatie van wiskunde en computers heeft opgeleverd zijn cellulaire automaten. Het principe ervan is simpel: je hebt een verzameling hokjes, die elk een cijfer bevatten. Vaak kan dat alleen een 1 of een 0 zijn. Daarnaast heb je regels die bepalen wat er met de vakjes gebeurt. Bijvoorbeeld: “Als ik een 0 ben en drie van mijn acht buren zijn een 1, dan word ik ook een 1. Een bekend voorbeeld is de Game of Life, bedacht door James Conway. Bij deze automaat (een spel is het niet echt) zijn de vakjes met enen en nullen in een vierkant of rechthoek gerangschikt en gelden de volgende regels:

Bij een 1: Als van je 8 buren er twee of drie een ook een 1 zijn, blijf dan een 1.
Bij een 0: Als je precies drie buren hebt die 1 zijn wordt je een 1.
In alle andere gevallen wordt je een 0.

Als je alle vakjes met een 1 inkleurt krijg je iets dat er als volgt uitziet:

Druk op “Stap” om de regels één keer toe te passen. Je ziet het patroon veranderen. Druk op “Start” om de regels keer op keer toe te passen. Een beetje afhankelijk van het beginpatroon kan een wild, dynamisch patroon ontstaan. Probeer ook het volgende eens uit. Druk op “Stop”, en dan op “Schoon”. Klik dan een paar vakjes aan tot je het volgende patroon ziet:

En druk op start. Je hebt leven gemaakt: dit patroon schuift in vier stappen schuin naar boven. Dit patroon heet – niet verrassend – een glider. Gliders zijn kwetsbaar, bij de kleinste verstoring gaan ze dood. Zet maar eens een zwart vakje op zijn route, of laat er twee botsen.

Life is interessant omdat het mooi laat zien dat je met simpele regels ingewikkeld gedrag kunt krijgen. Als je de wilde patronen zou zien zonder eerst mijn verhaal te lezen zou je waarschijnlijk niet vermoeden dat de onderliggende regels zo simpel zijn. Ondanks die simpele regels blijkt dat de Game of Life veel mogelijkheden biedt. Er zijn patronen die oneindig uitgroeien, gliders, ruimteschepen en zelfs is het mogelijk een programmeerbare computer in life te maken. Voorbeelden kun je vinden op de wikipedia-pagina (en hierboven uitproberen). En op deze site vind je een programma waarmee je allerlei cellulaire automaten kunt proberen, op een groot veld met verschillende regels. En cellulaire automaten zijn een mooie inspiratie als je een badkamer moet betegelen, maar daarover een volgende keer.