Tandwielen en priemgetallen

Deze week hadden we een afdelingsuitje. Op tandems maakten we een fietstocht door Twente en maakten een stop bij twee watermolens, waaronder die in Haaksbergen. Een watermolen is zestiende-eeuwse high-tech. De waterkracht drijft een ingenieus ontworpen stelsel van tandwielen aan waarmee allerlei taken kunnen worden verricht. Deze molen is een dubbele molen. Links staat een oliemolen waarin olie uit zaden wordt geperst, rechts een graanmolen. In onderstaand filmpje zie je de oliemolen in werking.


(De video is gemaakt door Nico Rutten)

Niet alleen de walsen worden aangedreven met waterkracht, ook de persen en eigenlijk alles waar energie voor nodig is functioneert op waterkracht. Wanneer een machine wordt aangedreven door de molen wordt die gekoppeld met houten tandwielen. Nu geeft dat een probleem. Tandwielen slijten en houten tandwielen zeker. Wanneer een tand een klein beetje een afwijkende vorm heeft, en voor een houten tandwiel is dat zeker niet bijzonder, slijt die een beetje harder en onregelmatig. Als die tand altijd aangrijpt op dezelfde tand van het tandwiel dat aangedreven wordt gaat die tand ook harder slijten, de tanden slijten op elkaar in en breken sneller af. Het is daarom zaak ervoor te zorgen dat niet steeds dezelfde tanden op elkaar ingrijpen zodat de slijtage zo regelmatig mogelijk is en over alle tanden wordt verdeeld. Maar hoe doe je dat?

Hier komt de wiskunde te hulp. Wanneer twee tandwielen precies even veel tanden hebben komen de tanden iedere omwenteling in elkaar. Door met de aantallen tanden te variëren kun je dat veranderen. Het makkelijkst is het verschil 1 tand te maken, zoals hieronder is te zien. Zowel het middelste tandwiel als dat rechtsonder hebben 16 tanden. Bij iedere omwenteling grijpen dezelfde tanden in elkaar. Het tandwiel links heeft 17 tanden. Bij dat tandwiel komt het veel minder vaak voor dat weer dezelfde tanden in elkaar grijpen: pas na 16 omwentelingen grijpen de tanden weer in elkaar zoals in het begin. In die tijd heeft het middelste tandwiel 17 omwentelingen gemaakt. 16 keer 17 tanden is natuurlijk gelijk aan 17 keer 16 tanden.

(Deze video is gemaakt met behulp van GearSketch, een programma gemaakt door Frank Leenaars)

In het algemeen geldt dat je moet opletten dat twee tandwielen geen gemeenschappelijke delers hebben, behalve dan 1. Als dat wel zo is, zullen tanden vaker in elkaar grijpen. Een tandwiel met 15 tanden dat draait op een tandwiel met 20 tanden is na 4 rondjes alweer terug bij af, omdat beiden deelbaar zijn door 5. In wiskundige termen, de aantallen tanden moeten relatief priem zijn.

Het makkelijkst is dat natuurlijk als de aantallen zelf priemgetallen zijn, en je elk aantal maar 1 keer gebruikt. Priemgetallen hebben alleen zichzelf en 1 als deler, en gemeenschappelijke delers groter dan 1 zijn nooit te vinden voor twee priemgetallen. De ontwerpers van de molens hadden dat ook begrepen toen zij hun tandwielen maakten. Geen twee tandwielen hebben gelijke aantallen tanden en de verhoudingen zijn zo gekozen dat er geen regelmatig slijtpatroon ontstaat. Op het filmpje zijn de aantallen van de meeste tandwielen niet goed te tellen. Het lukte me voor het verticale rad dat de pers aandrijft. Het zijn er 43, een priemgetal….

Een gedachte over “Tandwielen en priemgetallen

  1. Erg leuk!
    Ik maak momenteel een uurwerk van hout en zal nu mijn tandwieltrein nog eens onder de loep nemen.

    Gr.Erik

Geef een reactie