Onderwijsonderzoek

Ik was vandaag op een symposium bij NEMO. Aanleiding van het symposium was de presentatie van een nieuw boek van Rooske Franse: “Reizen door het Landschap van Informeel Leren”, dat een achtergrond biedt over het opzetten van educatieve tentoonstellingen. Mooi boek – en ik ga het zeker lezen. Bij die presentatie waren lezingen van Maartje Raijmakers, van de UvA, en Josh Gutwill, van het Exploratorium in San Francisco. Met name die laatste zette me aan het denken.

Hij noemde een voorbeeld van ontwerponderzoek dat ze bij het exploratorium doen. Ontwerponderzoek noemde hij als de meest praktijkgerichte vorm van onderzoek. Niet gedreven uit theorie maar gewoon om een opstelling op de museumvloer zo goed mogelijk te maken. Daarbij gaan ze heel praktisch te werk. Een ontwerper bouwt een eerste versie van een opstelling en die wordt op de museumvloer gezet. Het publiek loopt er langs en gebruikt de opstelling. Dat wordt geobserveerd – met camera’s en microfoons wordt vastgelegd wat er met en rond de opstelling gebeurt. Op basis daarvan wordt een nieuwe versie gemaakt. Ook die wordt op dezelfde manier getest en weer herzien. Net zolang tot er geen verbetering mogelijk is.

Gutwill noemde een voorbeeld van een opstelling waarin bezoekers schijven van een helling kunnen laten rollen, en kijken welke sneller gaat. Hoe snel een schijf rolt hangt af van hoe de massa verdeeld is over de schijf. Hoe dichter de massa bij het centrum van de schijf is geconcentreerd, hoe sneller de schijf gaat lopen – er gaat minder energie in de rotatie van de schijf zitten.

Er zijn verschillende soorten schijven: lichte aluminium en zware koperen schijven. Ook zijn er massieve en schijven die er meer uitzien als een wiel met spaken. Uit de observaties bleek dat mensen wel met de schijven speelden maar niet doorhadden dat het om de rotatie-energie ging. Veel dachten aan luchtweerstand. In het nieuwe ontwerp waren de schijven van hout met koperen gewichtjes er in, met een duidelijk zichtbare grootte en verdeling. Bezoekers hadden snel door dat het om massa en massaverdeling ging en probeerden dat uit. Een effect was wel dat ze veel korter bij de opstelling bleven.

De helling zoals gebruikt bij het exploratorium. Aan de onderkant zijn de schijven met gewichtjes te zien. Foto is van exploratorium.

In de volgende versie van de opstelling waren de schijven op dezelfde manier gemaakt, maar waren twee schijven toegevoegd waarvan de bezoekers zelf de massaverdeling konden bepalen door gewichtjes langs sleuven te verplaatsen. Nu bleven bezoekers weer veel langer bij de opstelling en kon uit hun gesprekken nog steeds worden opgemaakt dat de verdeling van de massa over de schijf essentieel is.

Wat mij vooral aan het denken zette is dat, hoewel de inhoud van de proef door de verschillende gebruikte schijven niet veranderde, het gedrag van de bezoekers dat wel deed, en vrij essentieel. Vooral omdat ik eerder op de dag een artikel reviewde waarin twee versies van een online leeromgeving werden gebruikt. In één versie kregen leerlingen vragen, in een andere niet. Ik heb het artikel afgewezen omdat de statistiek niet klopte, maar daarnaast zat de leeromgeving over celbiologie liefdeloos in elkaar. Fraaie animaties, maar de interactie met de leerling was weinig doordacht. Als je dit legt naast de wetenschap dan een relatief klein detail in het ontwerp veel uitmaakt, kun je je afvragen wat de zin van dergelijk onderzoek is.

Ik realiseerde me dat bij veel onderzoek naar instructievormen de eerste fase van zorgvuldig, iteratief ontwerp wordt overgeslagen of maar beperkt wordt gedaan. We grijpen meteen naar vergelijkend onderzoek, en vinden soms wel en soms geen verschil. Het probleem hiermee is dat doordat kleine verschillen in het ontwerp van de ervaring van de gebruiker grote gevolgen hebben voor gedrag, het geen zin heeft om verschillen in instructie te gaan vergelijken. Het effect van de details van de opstelling zelf kan vele malen groter zijn dan dat van wel of niet een bepaald soort vragen stellen. Onderzoek is gelaagd: eerst een goed ontworpen basisomgeving, dan pas uitproberen of verschillende vormen van instructie effect hebben. Die les kreeg ik vandaag weer een keer ingepeperd.

Schurend onderwijs

Deze week mocht ik de UT onderwijsdag over het Masteronderwijs afsluiten. Het was de bedoeling dat ik luisterde en mijn indrukken zou geven. Oorspronkelijk was het de bedoeling dat Bas Haring dat zou doen, maar die kon uiteindelijk niet komen. Het is niet makkelijk om met acht parallelle workshops, die wel elk twee keer werden gegeven, te luisteren en daar indrukken van te geven. Maar met wat indrukken en een voorgesprek was het te doen. Op andere plaatsen is verslag gedaan van wat ik te zeggen had en dat ga ik niet herhalen. UT-nieuws wijdde er dit artikel aan, dat op verschillende plaatsen niet de kern raakte van wat ik probeerde te zeggen, maar wel gelukkig op de foto de goede slide laat zien: “Schuurt het wel genoeg”. De kern van mijn verhaal was dat we het studenten niet te makkelijk moeten maken. Dat falen een optie en en dat je van fouten kunt leren. Petra de Weerd-Nederhof, die de dag organiseerde gaf me de gelegenheid om op haar blog een gastbijdrage te schrijven om dit punt nog eens uit te werken.

Schuren kan creativiteit opwekken. De dag zelf was voor mij een goed voorbeeld. Op die manier een dag samenvatten was voor mij spannend. Ik ben in het diepe gesprongen en gelukkig kwam ik weer boven. Met een paar inzichten die helderder waren dan voor die dag. Een ander voorbeeld kwam vandaag. Toevallig werd ik deze dagen gevraagd om voor een project van een bevriend bedrijf als adviseur op te treden. In het pakket moeten naast een CV ook kopieën van mijn diploma’s worden bijgevoegd. Ik heb dus mijn diploma’s opgezocht en ontdekte dat mijn drs. bul in het latijn was – wat ik eigenlijk vergeten was:

Wat me meer verbaasde en waar ik van schrok is dat tussen een reeks redelijk tot goede cijfers (7 tot 9, met achten voor scriptie en experimenteel werk), een 6- stond voor quantumtheorie 1. De herinnering kwam boven dat ik daar destijds echt gefrustreerd door was, omdat ik de quantummechanica echt wilde begrijpen en dat grote moeite kostte, blijkend uit dat cijfer. Gelukkig heb ik doorgepakt en is ergens het kwartje gevallen: quantumtheorie 2 was een 9, en mijn these ging ook over de fundamenten van de quantummechanica. Voor mij was dit echt een lastig moment in mijn studie – en volgens mij heeft het ook tijd gekost. Achteraf een productief schuurmoment.

 

 

SimSketch in de Ruhrbode

Twee weken geleden gaf ik een presentatie op de bijeenkomst van de “Special Interest Group (SIG)” onderzoekend leren van de EARLI, de Europese vereniging voor onderzoek naar leren en instructie. Onderzoekers die deelnamen aan het symposium presenteren methoden en computerprogramma’s waarmee leerlingen op een onderzoekende manier kennis kunnen verwerven. Mijn presentatie ging over onze software SimSketch waarmee leerlingen modellen kunnen bouwen vanuit tekeningen. De slides van deze presentatie staan hier. Een week later werd ik gebeld door een journalist van de Ruhr Nachrichten die om toestemming vroeg een foto van me te gebruiken. Een paar dagen later stuurde hij me dit artikel (klik op het plaatje voor pdf):

 

Tandwielen en priemgetallen

Deze week hadden we een afdelingsuitje. Op tandems maakten we een fietstocht door Twente en maakten een stop bij twee watermolens, waaronder die in Haaksbergen. Een watermolen is zestiende-eeuwse high-tech. De waterkracht drijft een ingenieus ontworpen stelsel van tandwielen aan waarmee allerlei taken kunnen worden verricht. Deze molen is een dubbele molen. Links staat een oliemolen waarin olie uit zaden wordt geperst, rechts een graanmolen. In onderstaand filmpje zie je de oliemolen in werking.


(De video is gemaakt door Nico Rutten)

Niet alleen de walsen worden aangedreven met waterkracht, ook de persen en eigenlijk alles waar energie voor nodig is functioneert op waterkracht. Wanneer een machine wordt aangedreven door de molen wordt die gekoppeld met houten tandwielen. Nu geeft dat een probleem. Tandwielen slijten en houten tandwielen zeker. Wanneer een tand een klein beetje een afwijkende vorm heeft, en voor een houten tandwiel is dat zeker niet bijzonder, slijt die een beetje harder en onregelmatig. Als die tand altijd aangrijpt op dezelfde tand van het tandwiel dat aangedreven wordt gaat die tand ook harder slijten, de tanden slijten op elkaar in en breken sneller af. Het is daarom zaak ervoor te zorgen dat niet steeds dezelfde tanden op elkaar ingrijpen zodat de slijtage zo regelmatig mogelijk is en over alle tanden wordt verdeeld. Maar hoe doe je dat?

Hier komt de wiskunde te hulp. Wanneer twee tandwielen precies even veel tanden hebben komen de tanden iedere omwenteling in elkaar. Door met de aantallen tanden te variëren kun je dat veranderen. Het makkelijkst is het verschil 1 tand te maken, zoals hieronder is te zien. Zowel het middelste tandwiel als dat rechtsonder hebben 16 tanden. Bij iedere omwenteling grijpen dezelfde tanden in elkaar. Het tandwiel links heeft 17 tanden. Bij dat tandwiel komt het veel minder vaak voor dat weer dezelfde tanden in elkaar grijpen: pas na 16 omwentelingen grijpen de tanden weer in elkaar zoals in het begin. In die tijd heeft het middelste tandwiel 17 omwentelingen gemaakt. 16 keer 17 tanden is natuurlijk gelijk aan 17 keer 16 tanden.

(Deze video is gemaakt met behulp van GearSketch, een programma gemaakt door Frank Leenaars)

In het algemeen geldt dat je moet opletten dat twee tandwielen geen gemeenschappelijke delers hebben, behalve dan 1. Als dat wel zo is, zullen tanden vaker in elkaar grijpen. Een tandwiel met 15 tanden dat draait op een tandwiel met 20 tanden is na 4 rondjes alweer terug bij af, omdat beiden deelbaar zijn door 5. In wiskundige termen, de aantallen tanden moeten relatief priem zijn.

Het makkelijkst is dat natuurlijk als de aantallen zelf priemgetallen zijn, en je elk aantal maar 1 keer gebruikt. Priemgetallen hebben alleen zichzelf en 1 als deler, en gemeenschappelijke delers groter dan 1 zijn nooit te vinden voor twee priemgetallen. De ontwerpers van de molens hadden dat ook begrepen toen zij hun tandwielen maakten. Geen twee tandwielen hebben gelijke aantallen tanden en de verhoudingen zijn zo gekozen dat er geen regelmatig slijtpatroon ontstaat. Op het filmpje zijn de aantallen van de meeste tandwielen niet goed te tellen. Het lukte me voor het verticale rad dat de pers aandrijft. Het zijn er 43, een priemgetal….

Een cellulair ecosysteem

Als je er aan begint ben je verslaafd. En als je één cellulaire automaat hebt gemaakt is de volgende niet zo moeilijk meer. Deze is een klassieker, en in onderzoek ook veel gebruikt, dan wel in wat uitgebreidere vorm: een ecosysteem bestaande uit verschillende onderdelen van de voedselketen. Ik heb het simpel gehouden en gekozen voor twee verschillende onderdelen van het ecosysteem: gras en konijnen. Net als bij de vorige cellulaire automaten zijn er enkele simpele regels waaraan de bewoners van de cellen zich houden. En zelfs met deze simpele regels kun je interessant gedrag zien ontstaan. De regels:

Voor Gras:

  1. Als er in je directe omgeving (de cellen links, rechts, boven of onder) een lege cel is wordt die in 20% van de gevallen gevuld met gras. [Gras groeit].

Voor de konijnen:

  1. Konijnen beginnen met een energie van 10.
  2. Iedere stap neemt de energie van een konijn af met 1. [Leven kost energie]
  3. Als de energie onder nul zakt sterft het konijn en laat een lege cel achter. [De hongerdood]
  4. Als het konijn naast een cel met gras staat, kan het konijn eten. De kans daarop is 1-energie/10 en wordt dus groter met afnemende energie (honger). Als het konijn eet springt het naar de cel met gras en stijgt zijn energie met 3. [Konijnen eten]
  5. Als je naast precies één ander konijn staat, en de energie van beide konijnen is groter dan 5, is er een kans (40%) dat er een nieuw konijn ontstaat in een cel naast het konijn. [Voortplanting]

Er zijn twee belangrijke toevoegingen aan de regels ten opzichte van de vorige automaten. Er is een kanselement ingebracht, sommige regels kunnen met een bepaalde kans worden uitgevoerd. Bovendien heeft het konijn een interne toestand, zijn energie, die het gedrag van het konijn bepaalt (wel/niet eten, wel niet voortplanten, sterven). En je kunt me aanvallen op de biologische correctheid omdat ieder konijn met ieder willekeurig ander konijn kan voortplanten. Hier zie je het resultaat:

In veel gevallen zie je dat het aantal konijnen vaak ongeveer stabiel blijft, met af en toe bevolkingsexplosies van konijnen. Die leiden dan tot grote kaalgevreten plekken waardoor konijnen in een hoog tempo afsterven. In veel gevallen blijven er een paar over die op termijn zich weer gaan vermenigvuldigen. Het systeem kan dus een stootje hebben. Maar soms gaat het fout en sterven alle konijnen. Het overkwam mij een aantal keer dat ik een eenzaam zwervend konijntje overhield. Dat heeft het eeuwige leven want in dit model is niet voorzien in sterven van ouderdom.

De weg uit het doolhof

Met cellulaire automaten kunnen we meer dan mooie patronen genereren. Ze vormen een krachtig gereedschap om allerlei processen en principes mee te simuleren. Ik laat hier een simulatie zien met een cellulaire automaat waarmee je de weg uit een doolhof kunt vinden. Een belangrijk verschil met de game of life is dat de cellen nu op meerdere manieren gevuld kunnen zijn.  Preciezer, een cel is niet alleen bezet of niet, maar kan bezet zijn met verschillende kleuren.

Het model van het doolhof bestaat uit een vierkant van cellen waarin de muren worden gevormd door bruine cellen. Bij de uitgang is een cel gevuld met groen. De persoon die probeert de ontsnappen staat in een rode cel.

Net als bij de game of life geven we regels hoe de cellulaire automaat gaat veranderen. Het zal duidelijk zijn dat de verandering alleen zal plaatsvinden rond de rode cel. Daarom formuleren we de regels vanuit die cel. Alle regels gelden dus alleen als de cel rood is:

  1. Als een van je buurcellen (links, rechts, boven, onder) groen is: kleur die cel rood, en kleur je eigen cel geel. Stop daarna. [Ga naar de groene cel]
  2. Als een van je buurcellen leeg is, kleur die rood en kleur je eigen cel geel. [Ga naar een lege cel]
  3. Als geen van je buurcellen leeg is, maar er is wel een gele, kleur die rood, en de cel waar je vandaan komt blauw. [Volg het spoor terug]
  4. In alle andere gevallen stop je.

Hier is de simulatie:

Als je hem start, zie je dat de rode cel beweegt naar lege cellen. Wanneer er geen lege cellen in de buurt zijn, volgt hij het gele spoor terug, tot er weer een lege cel is die geprobeerd kan worden, net zolang tot de uitgang is bereikt.  Het gele spoor tekent de gevolgde weg. De gele vakjes zou je daarom ook broodkruimels kunnen noemen. Het weer teruggaan naar eerder neergelegde broodkruimels noemen we backtracken.

Als je wilt kun je opnieuw beginnen en met muisklikken muren bijmaken of wegbreken, en kijken hoe de route verandert, of onmogelijk wordt.

Omdat de regels er voor zorgen dat er altijd maar één rode cel is, is het verleidelijk die een eigen identiteit te geven. Het is de representatie van de persoon die de uitweg zoekt. De gekleurde cel wordt een ding, met een eigen gedrag. Zoiets wordt een agent genoemd, en de simulatie wordt dan, in goed Nederlands,  een agent-based simulation. Aardig van deze simulaties is dat ze laten zien dat je met weinig eenvoudige regels relatief ingewikkeld gedrag kunt begrijpen.

 

De fout in mijn tegels

In de vorige blog daagde ik de lezer uit uit te vinden welke regel was gebruikt voor de cellulaire automaat waarmee ik het patroon voor mijn badkamertegels bepaald. Het blog is redelijk vaak bekeken en via twitter kreeg ik reacties. Johan Roos (@MagliaRosa) vond zowel de regel als de fout. Hulde, want met name de fout was moeilijk te vinden.

De regel is 30 of 135. Welke van de twee hangt af van welke kleur je 1 of 0 noemt. 30 is binair 00011110 en 135 is 10000111. 135 is dus 30 gespiegeld en 1 en 0 verwisseld, hetgeen neerkomt op dezelfde regel met alle enen en nullen verwisseld. De fout was echt moeilijk te vinden. Het is een afgeknipte tegel, een driehoekje, bij de rand op de negende rij boven het bad. Hieronder een detailopname:

Als de tegel blauw had moeten zijn had volgens de regel de tegel een regel later en een naar links ook blauw moeten zijn, en hij is groen. Het aardige is dat je niet eens de regel hoeft te weten om te zien dat er een fout in zit. Overal zie je midden onder drie blauwe tegels weer een blauwe, behalve hier. Als je weet DAT er een regel is kun je concluderen dat hier een fout moet zijn.

 

 

Cellulaire automaten en badkamertegels.

In de vorige blog beschreef ik de game of life als voorbeeld van een cellulaire automaat.

Life is twee-dimensionaal, de cellen leven in een vierkant of rechthoek. Iedere cel heeft acht buren.  Een simpeler versie van een cellulaire automaat is de één-dimensionale. Hier heeft iedere cel maar twee buren. Dat geeft natuurlijk minder mogelijkheden. Het voordeel is dan weer wel dat je alle tijdstappen onder elkaar kunt tekenen. In één oogopslag zie hoe de automaat zich in de tijd ontwikkeld. En op die manier ontstaan vaak mooie patronen.

Bij één-dimensionale automaten wordt de regel waarmee de cellen veranderen vaak als een getal weergegeven. De nieuwe waarde van een cel hangt af van de waarde van de cel zelf en zijn twee buren. Dat geeft 8 verschillende combinaties: 111, 110, 101, 100, 011, 010, 001 en 000. De drie cijfers zijn de waarde van de cellen van links naar rechts. Voor iedere combinatie bepaalt de regel of de volgende waarde van de cel een 0 of 1 moet worden. Bijvoorbeeld:

111 110 101 100 011 010 001 000
1 0 0 1 1 0 0 1

Deze regel kun je dus schrijven als 10011001 in binaire notatie. In ons decimale stelsel is dat 153. Er zijn op deze manier 256 verschillende regels.

Hieronder kun je al deze regels uitproberen: vul een getal in tussen 0 en 255 en druk op “Start”. Wil je een andere proberen: maak schoon en start opnieuw.  Ik heb in de bovenste regel 1 vakje zwart gemaakt. Door te klikken kun je er meer zwart maken.

Probeer een aantal getallen uit. In veel gevallen zie je een regelmatig patroon van driehoeken ontstaan, maar soms ook patronen die tegelijkertijd regelmatig lijken maar zichzelf toch niet herhalen. Eén van die patronen vond ik zo mooi dat ik het gebruikt heb toen mijn nieuwe badkamer betegeld moest worden:

Aan de lezer is het om te ontdekken welk getal bij deze regel hoort. De tegelzetter vond het overigens wel interessant maar begreep het niet helemaal. De afdruk die ik hem gegeven had met het patroon was iets te klein. Hij heeft toen een willekeurige kleur gepakt. De foute. Kun je de fout vinden op de foto?

 

Cellulaire automaten – leven in de computer

Een van de leukste dingen die de combinatie van wiskunde en computers heeft opgeleverd zijn cellulaire automaten. Het principe ervan is simpel: je hebt een verzameling hokjes, die elk een cijfer bevatten. Vaak kan dat alleen een 1 of een 0 zijn. Daarnaast heb je regels die bepalen wat er met de vakjes gebeurt. Bijvoorbeeld: “Als ik een 0 ben en drie van mijn acht buren zijn een 1, dan word ik ook een 1. Een bekend voorbeeld is de Game of Life, bedacht door James Conway. Bij deze automaat (een spel is het niet echt) zijn de vakjes met enen en nullen in een vierkant of rechthoek gerangschikt en gelden de volgende regels:

Bij een 1: Als van je 8 buren er twee of drie een ook een 1 zijn, blijf dan een 1.
Bij een 0: Als je precies drie buren hebt die 1 zijn wordt je een 1.
In alle andere gevallen wordt je een 0.

Als je alle vakjes met een 1 inkleurt krijg je iets dat er als volgt uitziet:

Druk op “Stap” om de regels één keer toe te passen. Je ziet het patroon veranderen. Druk op “Start” om de regels keer op keer toe te passen. Een beetje afhankelijk van het beginpatroon kan een wild, dynamisch patroon ontstaan. Probeer ook het volgende eens uit. Druk op “Stop”, en dan op “Schoon”. Klik dan een paar vakjes aan tot je het volgende patroon ziet:

En druk op start. Je hebt leven gemaakt: dit patroon schuift in vier stappen schuin naar boven. Dit patroon heet – niet verrassend – een glider. Gliders zijn kwetsbaar, bij de kleinste verstoring gaan ze dood. Zet maar eens een zwart vakje op zijn route, of laat er twee botsen.

Life is interessant omdat het mooi laat zien dat je met simpele regels ingewikkeld gedrag kunt krijgen. Als je de wilde patronen zou zien zonder eerst mijn verhaal te lezen zou je waarschijnlijk niet vermoeden dat de onderliggende regels zo simpel zijn. Ondanks die simpele regels blijkt dat de Game of Life veel mogelijkheden biedt. Er zijn patronen die oneindig uitgroeien, gliders, ruimteschepen en zelfs is het mogelijk een programmeerbare computer in life te maken. Voorbeelden kun je vinden op de wikipedia-pagina (en hierboven uitproberen). En op deze site vind je een programma waarmee je allerlei cellulaire automaten kunt proberen, op een groot veld met verschillende regels. En cellulaire automaten zijn een mooie inspiratie als je een badkamer moet betegelen, maar daarover een volgende keer.

Hoe korter hoe sneller

Tussen de sportuitslagen in de Volkskrant van 16 april stond de volgende fascinerende foto:

Het is de fotofinish van de Grand National. Op de foto is te zien dat het paard op de voorgrond net iets eerder over de finish gaat dan het paard op de achtergrond, met een nauwelijks waarneembaar verschil. Ik vind dit een fascinerende foto, niet alleen vanwege de close finish, maar ook door de manier waarop de foto wordt gemaakt. Finishfoto’s als deze lijken misschien op een opname die op het moment is gemaakt dat het eerste paard over de finish loopt maar is dat niet. Het is geen momentopname maar een opname van de tijd zoals die op de finishlijn verstrijkt. De verticale witte lijn is dan ook niet een aanduiding van plaats maar van tijd.

Het beste zie je dat aan de strepen op de achtergrond. Een streep is een punt dat stilstaat, precies in het beeld van de camera. Dat beeld is een heel smal spleetje en de “film” registreert wat er voorbijkomt. In de tijd van analoge camera’s werd een film met hoge snelheid achter de spleet langs getrokken. In het digitale tijdperk gebeurt dat virtueel. De film beweegt dus en een punt in beeld trekt een horizontale lijn. Het lijkt een beetje op grafieken die natuurkundigen graag tekenen om beweging zichtbaar te maken:

In het plaatje loopt de tijd van beneden naar boven en de plaats van links naar rechts. De verticale blauwe lijn is een punt dat stil staat. De twee paarden worden afgebeeld door de groene en oranje lijnen die aangeven dat ze van links naar rechts bewegen als de tijd voortschrijdt. Als ik met een gewone camera een foto zou maken leg ik alles vast binnen het horizontale balkje in de grafiek: verschillende plaatsen op 1 moment. De fotofinishcamera neemt een verticale doorsnede, het rode balkje: verschillende tijden op 1 plaats. Het verschil tussen de grafiek en de finishfoto is dat de tijd van rechts naar links loopt en in plaats van 1 punt een smalle streep wordt opgenomen.

Doordat je tijd en niet plaats opneemt  veranderen dingen soms van vorm. Dat zie je goed aan de volgende finishfoto waarin de voet van de nummer 2 precies op de finish heeft gestaan. Doordat hij daar een fractie van een seconde stilstond is de voet uitgerekt.

 

Als je dat weet kun je beredeneren dat hoe sneller iets beweegt hoe smaller de afbeelding op de foto. Het paard op de eerste foto ziet er wat gedrongen uit, meer dan het achterste paard. Dat betekent dat het sneller loopt en waarschijnlijk vlak voor de finish op kop kwam. Als de race een paar centimeter korter was geweest had het andere paard gewonnen.